A ltın ve gümüş sikkelerin birlikte kullanıldığı zamanlarda insanlar altın olanı saklamış, gümüş olanı harcamış. Neden? Çünkü insanların değerli olanı elde tutması, değersiz olanı ise elden çıkarması oldukça rasyonel bir davranış. İşte rasyonel olan bu davranışı, 16.yy’da İ ngiltere'de Kraliçe I. Elizabeth'in mali danışmanı olan Sir Thomas Gresham, “kötü para, iyi parayı kovar” ifadesiyle ekonomik bir yasaya dönüştürmüştür. Gresham yasası, yazılı (nominal) değerleri a ynı fakat külçe değerleri farklı iki paradan, külçe değeri yüksek olan paranın piyasadan (dolaşımdan) çekilmesidir. Nominal değer ve külçe değeri ne demektir? Örneğin bir madeni paranın üzerinde “5 TL” yazıyorsa bu onun nominal değeridir. Külçe değeri ise paranın yapıldığı metalin (altın, gümüş, bakır, nikel vs.) piyasa değeridir. Yani parayı eritip sadece metal olarak sattığınızda elde edeceğiniz değerdir. Örneğin elinizde iki adet 5 TL’lik madeni para var. Biri gümüşten, diğeri nikelden yapılmış olsun. İki...
Eldeki
verilere ya da bilgilere dayanarak gelecekle ilgili en akıllıca (isabetli)
tahminleri kim yapmak ister?
Örneğin dört
arkadaş bilye oynuyorsunuz. Sekiz bilyeyi yan yana dizdiniz ve sağ baştaki bilyeyi
hedef aldınız. Belli bir uzaklıktan elinizdeki 15 bilyeyle sağ baştaki bilyeyi
vurmaya çalışıyorsunuz.
Karşında sekiz bilye. Hedef sağ baştaki bilye. Atış sayın 15.
Atış yapmadan önce aklından geçenler… Elindeki bilyenin hızını, açısını, rüzgârı ve kendi el becerini düşünerek,
sağ baştaki bilyeyi vurup vuramayacağını düşündün (tahmin etmeye çalıştın). Düşündün
çünkü başarılı olmak istiyorsun.
Her bir bilye atışından sonra… Yaptığın atışların sonucuna
bakıyorsun. Bilye hedefe yaklaştı mı, çok mu uzağa gitti, sağa mı saptı, sola
mı? Sert atış yaptığında genelde hedef bilyeyi bir miktar aşıyorsun. Daha yavaş
attığında hedef bilyeye ulaşamıyorsun. Bunlar eldeki verilerin.
Önceki atışlarından elde ettiğin
verilere bakarak bir sonraki atışını daha iyi yapmaya çalışıyorsun.
Belki biraz daha hızlı ya da fasolu atmalısın. Belki de açını değiştirmelisin.
Yaptığın bu çıkarımlar, hep bir sonraki atışın için. Gelecekle ilgili daha akıllıca
bir tahmin yapmak için.
Bu bilye oyununda amacımız, her atışta hedef bilyeye olan
uzaklığı en küçük
yapacak etmenleri bularak başarımızı artırmak. Bunu yaparken kafamıza göre
değil verilere, kanıtlara dayanarak matematiksel bir modelle yapalım.
Matematik, istatistik korkmak için değil kullanmak-uygulamak için. Matematiği,
istatistiği ne kadar çok bilirsen o kadar çok -bazen bilmek insanı daha çok
mutsuz etse de- mutlusundur çünkü.
Hedef
bilyeye olan isabetliliği artırmanın yollarını neden tahmin etmeyelim?
Ta-taaa! En küçük kareler yöntemi= hatayı en aza
indirgemenin yöntemi.
En küçük kareler yöntemi, eldeki mevcut veya geçmişteki
verilere bakarak, gelecekte ne olabileceğine dair en iyi "tahmin çizgisini" bulmaya çalışmakta işe
koştuğumuz bir yöntem.
Atığımız her bir bilye ile hedef bilye arasındaki mesafeleri ölçmüş olalım. Kimisi hedef bilyeye çok yakın, kimisi uzak, kimisi de hedef bilyeye değme noktasında. Her biri, hedef bilyeye olan hatalı ya da hatasız atışların ölçüsü esasında. Hedefe çok yakın olan bir atış küçük bir hatayı; hedefle arasında büyük mesafe olan bir atış büyük bir hatayı; hedefe değen bir atış ise sıfır hatayı (ideal durum) göstermiyor mu?
Hedef bilyeye olan isabetsiz atışlar arasındaki farkları (hataları) bulalım. Hedef bilye ile 1.atışın mesafesi; hedef bilye ile 2.atışın mesafesi…, hedef bilye ile 15.atışın mesafesi.
|
Atış sayısı |
Hata=Hedef bilyele olan mesafe (cm) |
Hataların karesi |
|
1 |
5 |
25 |
|
2 |
-3 |
9 |
|
3 |
-1 |
1 |
|
4 |
0 |
0 |
|
5 |
2 |
4 |
|
6 |
4 |
16 |
|
7 |
6 |
36 |
|
8 |
3 |
9 |
|
9 |
-5 |
25 |
|
10 |
-2 |
4 |
|
11 |
-2 |
4 |
|
12 |
4 |
8 |
|
13 |
2 |
4 |
|
14 |
3 |
9 |
|
15 |
0 |
0 |
|
Toplam |
154 |
|
Her bir mesafenin karesini alalım ki hem negatif ölçümleri pozitif kılalım hem de miktarı büyük olan hatalar daha belirgin hale getirelim. Hedef bilyeyi aşan atışları pozitif, hedef bilyeye ulaşmayan mesafeleri de negatif olarak atfedebiliriz. Karelerini aldığımız hataların toplamını en küçük yapacak olan doğrusal çizgiyi elde etmeye çalışmak oldukça akla yatkın :) 15 atış ile hedef bilye arasındaki mesafeleri temsil edecek (kapsayacak) pek çok farazi doğru çizgisi düşünmek mümkün.
Fakat bizim amacımız elde edilecek olan doğru çizgisinin ölçümleri (atışları) en iyi derecede temsil etme özelliğine sahip olması olduğu için en küçük kareler yöntemini kullanıyoruz. Grafikte 0 noktası hedef bilyenin bulunduğu konum ve bu konuma olan atışların mesafesi gösterilmiştir. Turuncu çizgiler, ölçümleri (atışlardaki hataları) temsil edecek olası doğru çizgileridir. Kırmızıçizgi, bu 15 noktayı en iyi derecede temsil eden doğru çizgisi olsun. Nereden biliyoruz en iyisi olduğunu? Çünkü hedef bilyeye olan mesafelerin karelerinin toplamı, olabilecek en küçük değerdedir. En küçük kareler yöntemini, 1795 yılında Carl Friedrich Gauss’un geliştirdiği notunu da düşelim.
«««
Oynadığımız bilye oyununda matematiksel modelimiz apaçıktır:
Bağımsız
Değişken (X): Atışın hızı,
açısı, ortamdaki rüzgâr veya atıcının cinsiyeti, yaşı.
Bağımlı
Değişken (Y): Hedef bilyeye
olan mesafe.
En küçük kareler yöntemiyle her bir bilye atışına dair elde
edilen verileri kullanarak, bir sonraki atışın isabetli olabilmesi için gerekli
parametreleri tahmin etmeye çalışırız. Hoş geldin doğrusal Regresyon!
Ölçme, istatistik, araştırma, örneklem gibi konulara dair bilgi kırıntıları almak istersen Whatsapp grubuna üye olabilirsin. Bedeli sadece öğrenmek!