Değişim: Yavaşlayarak artan hareket

Bir sayının bir başka ölçeğe dönüştürülmesi bir tür ölçekleme işlemidir. Bu tıpkı 5’li not sisteminin 100’lü not sistemine dönüştürülmesi gibidir. Yahut ölçekleme, TL’nin dolar gibi bir başka para birimine çevrilmesi işlemi gibidir. Dolayısıyla biz, reel sayıları rahatlıkla logaritma gibi başka birimli sayılara dönüştürebiliriz. Peki, neden reel bir sayıyı, logaritma gibi başka birimli sayılara dönüştürmeye ihtiyaç duyarız?

Çok hızlı bir şekilde çoğalan bakteri sayılarıyla hemhal olduğumuzda, ışık yılı cinsindeki mesafeler üzerinde işlemler yaptığımızda veya çıplak gözle göremediğimiz bir virüsün büyüklüğünü (çapını) ölçtüğümüzde ya çok büyük ya da çok küçük sayılarla uğraşırız. Ve çok büyük veya çok çok küçük sayılarla matematiksel işlem yapmak bıkkınlık vericidir. İşte bu çok büyük ya da çok küçük sayılarla işlem yapmanın bir yolu, bu sayıları “logaritma” adı verilen bir başka ölçeğe dönüştürmektir. Çok büyük ya da çok küçük sayıları önce küçültüyoruz; küçük sayılarla işlemleri yapıyoruz, daha sonra elde edilen küçük sayıyı, ilk ölçeğine çeviriyoruz.Örneğin her saat başı artan (üstel) bir hızla çoğalan 2 virüsün 15 saat sonra kaç virüsü olacağını hesaplayabilir miyiz? Elbette. Ortamdaki 2 virüs 15.saatin sonunda 2¹⁵ = 32768 adet olacak demektir. Eğer ortamda 2 değil de 10 virüs bulunursa 15.saatin sonunda aynı ortamda 10¹⁵ = 10000000000000000 adet virüs bulunacak demektir. Gördüğünüz üzere artışa konu olan “sayının” kendisi büyüdükçe artan hızın sonucunda elde edilen sayı, daha da büyük olmaktadır. 2’nin 15 kez katlanması (32768) ile 10’un 15kez katlaması (10000000000000000) sonucunda elde edilen iki sayının arasındaki fark, oldukça büyüktür. Dahası 32768 ile 10000000000000000 sayıları arasında dört işlem yapmak, hesap makinelerinin olmadığı bir dönemde işkence olsa gerek.

Diğer taraftan bir reel sayının logaritma cinsinden ölçeklenmesi ile üstel sayı arasındaki ilişkiyi anlamaya çalışalım. Anlaşılırlığı artırmak için küçük sayılar üzerinden örnekler verelim. Örneğin ortamdaki 2 virüs, her saat başı artan bir hızda çoğaldığı bilindiğine göre 5. Saatin sonunda bu virüs (2*2*2*2*2 = 2⁵ ), 32 adet olacak demektir. 32 sayısını logaritma cinsinden bir sayıya dönüştürecek olursak bu sayı 5 olacaktır. Log ₂ 32 = 5 olarak gösterilir. 32 sayısının 2 tabanında logaritması 5 olarak okunur.  2¹⁵ olarak ifade edilen üstel sayının logaritma ölçeğindeki matematiksel ifadesi: log ₂ 32768 = 15’dir. Bunun dilsel ifadesi ise 32768 olan sayının 2 tabanındaki logaritması 15’dir. Bir sayının logaritma ölçeğinde ifade edilmesinde “taban sayı” önemli bir ayrıntıdır. Bu elinizdeki Türk lirasının bir başka para birimine çevrilirken ele alınan “kurun”  değeri gibi önemli bir ayrıntıdır.  

Örneğin 10.000 sayısının 5 tabanında logaritması, 5.72’dir [Log ₅ 10.000=5.72 ].
10.000 sayısının 10 tabanında logaritması, 4’dür [Log ₁₀ 10.000=4 ].  
10.000 sayısının 100 tabanındaki logaritması 2’dir [Log ₁₀₀ 10.000=2 ]. 
10.000 sayısının 1000 tabanındaki logaritması 1,3’dür [Log ₁₀₀₀ 10.000=1,33 ]. 
10.000 sayısının 10.000 tabanındaki logaritması 1’dir [Log _10.000 10.000=1 ]. 
10.000 sayısının 100.000 tabanındaki logaritması 0,8’dir [Log _100.000 10.000=0.8 ]. 
Görüldüğü üzere 10.000 sayısının farklı tabanlardaki logaritmik değeri farklı olmaktadır. Logaritma ölçeğinde taban sayısı büyüdükçe, aynı sayının logaritma ölçeğindeki değeri küçülmektedir.

Yukarıdaki tablodan reel bir sayının, logaritma ölçeğinde bir sayıya dönüştürülmesini ve logaritma ile üstel sayı arasındaki ilişkiyi umarım anlatabilmişimdir. Başlığa bakıp logaritma ile değişim/hareket arasında ne alaka var diye düşünebilirsiniz. Unutmayın çok büyük ya da çok küçük sayılar arasındaki değişimi/hareketi veya eğilimi  -adeta bir büyüteç gibi- logaritmik fonksiyon bize gösterebilir.  

***

Kimi değişimler, ne sabit bir hızdadır ne de sürekli artan bir hızdadır. Zamana göre yavaşlayarak artan değişimler, olaylar da vardır. İşte bu durumda “logaritmik artış” kavramıyla hemhal olmak gerekmektedir.

Örneğin bir ülkedeki hasta sayısındaki zamana göre artış aşağıdaki gibi olsun. 1.senaryomuzdan hatırlanacağı gibi hasta sayındaki değişim oranının 1 olması veya ardışık iki ölçüm arasındaki farkın sıfır olması, durağanlık demekti. Bu ülkede 15 günlük süreçte kimi zaman durağanlık gözlense de hasta sayısında bir değişim vardır ve bu değişim artma yönündedir. Fakat artışın hızı zamana yayılmış durumdadır. Yavaşlayan bir artış söz konusudur.

Bu ülkede zamana göre hasta sayılarındaki değişim yavaşlayarak artmaktadır. Hasta sayısındaki artış, ilkin 2 gün sonra gözlenirken bir sonraki hasta sayısındaki artış 3 gün sonra, devamında 5 gün sonra hasta sayısında artış gözlenmekte. Bu tabloda zamana göre hasta sayısındaki değişim katlanarak artan (üstel) hızda değildir. Ancak yavaşlayan bir artış söz konusudur. İşte bu durumda logaritmik bir artıştan bahsederiz. Aşağıdaki grafikte 15 gün süresince hasta sayısındaki artışın logaritmik fonksiyonu noktalı çizgili olarak gösterilmiştir.

Katlanarak artan bir değişime, 'logaritmik artış var' denmez. Doğrusal bir değişime, 'katlanarak artan bir değişim hiç var' hiç denmez. Katlanarak artan bir değişime de 'doğrusal bir değişim' var denmez. Demem o ki;
doğrusal (sabit)  hızda değişim/hareket, katlanan hızda değişim/hareket ile logaritmik hızda değişim/hareket başka başka şeylerdir.