Değişim: Artan (üstel) hızda hareket

a^x, şeklinde gösterilen matematiksel terimlere üstel sayı denir. Y=  a^x eşitliği a tabanında x üstü olan sayının Y olduğunu ifade eder. Sıfırdan büyük herhangi bir a sayısı, belirli bir kuvvette artırılabilir veya hızlandırılabilir. Bir başka deyişle, sayı kendi kendisiyle x kez çarpılır. Bu çarpma işlemi, üslü sayılar olarak bir matematik dersinin konusu olarak bilinir. Merkez üssü, hava üstü gibi durumlarla hiç ilgisi yoktur. Üstel sayılarda, sayıya (çokluğa) belirli bir kuvvetin uygulanması bizi, “hareket” kavramıyla; hareket kavramı  “hız” kavramıyla ve hatta hareket kavramı bizi “değişim” kavramıyla çekiştirmektedir. Kötü bir matematik edebiyatı yapacak olursam “bir lafı 40 kez üsteleme” diyebilirim.  Dünya üzerindeki olayların, ölçümlerin zamana göre değişimi her zaman sabit midir? Ne münasebet. Arttıkça artan hızlarda değişimler yok mudur? Var mı yoksa? Üçüncü senaryomuzla devam edelim hadi.

Senaryo 3: Üstel (Artan) hızda değişim

Zamana göre hasta sayılarını tablodan inceleyelim. Günlük hasta sayısında bir değişim var mı? Var. Hasta sayısının zaman göre değişiminde bir azalma mı yoksa bir artma mı var? 2,4, 8, 16,32…1024 sayılarına göre zamana göre hasta sayılarında bir değişim var ve bu değişim, artma yönündedir. Peki artış hızı sabit mi? Hayır değil. 2,4, 8, 16,32…1024 sayıları arasındaki farklar 2,4,8…512 olduğuna göre hasta sayındaki günlük artış hızı sabit değildir. Eğer sabit olsa idi her bir gün artan/azalan hasta sayısı aynı olurdu. Senaryo 2’yi okuyup hatırlayabilirsiniz.

Günlük hasta sayısındaki artmanın matematiksel olarak bir ritmi var: 2,4,8…, 256, 512. Bu tempo, dil ile ifade edilirse 2’nin kuvvetleri (üstelleri) şeklindedir:  2, (2*2), (2*2*2), (2*2*2*2)…. Her bir gündeki toplam hasta sayısı bir önceki günün hasta sayısına oranlandığında sonucun 1’e eşit olmadığını görüyoruz. Şayet bu oran 1’e eşit olsaydı iki farklı zamanda ölçülen hasta sayısının durağan kaldığını, değişmediğini söyleyebilecektik.  Örneğin 5.gün ile 6.günkü hasta sayısı 50 olarak eşit olsaydı hasta sayılarının oranı 50/50=1 olacaktır.  Ne zaman ki iki ölçümün birbirine oranı 1’e eşit çıkar işte o zaman ölçümler için bir eşitlikten, durağanlıktan bahsedebiliriz.   

Bu tablonun grafiğine bakıldığında zaman göre hasta sayısındaki artışın sabit hızda (veya doğrusal) olmadığı apaçıktır. Dünyanın neresinde olursak olalım, hangi dine/ırka mensup olursak olalım, zamana göre hasta sayısını Y=2^x denklemiyle veya 4 farklı sembolle ifade edebiliriz.  Zamana göre hareketlilik gösteren hasta sayılarını şimdi grafikte görelim.

Grafikte yatay eksen ilgilenilen günün sırasını, dikey eksen hasta sayısını gösterir. İlk 10 günde hasta sayısındaki değişimin, yukarıya doğru hareket ettiğini ancak bu hareketin doğrusal olmadığını söyleyebiliriz. Gün be gün hasta sayısının kuvvetlenerek (katlanarak) artan bir değişim içinde olduğu açıktır. 2 hasta ile başlayan ve ilk günden sonra hasta sayındaki katlanmanın geçen gün sayısı kadar olduğunu söyleyebiliriz.   Y=2^x denklemine göre X, ilgilenilen günün sıra numarasıdır. Dolayısıyla 1.günkü hasta sayısı 2¹=2 ; 2.günkü hasta sayısı 2²=4; 3.günkü hasta sayısı 2³=8 … 10.günkü hasta sayısı 2¹⁰=1024’tür. Eğer bu ritmin devam edeceğine dair güçlü kanıtlarınız varsa 15.gündeki ya da 150.gündeki hasta sayısını Y=2^x  denklemiyle hesaplayabilirsiniz. 

Ha bu arada ölçümlere ilişkin artış ya da azalış hızını abartmak isterseniz “expansiyonel” terimini kullanabilirsiniz. Ancak bu terimde Türkçe değildir. Bu terimi kullanmak sizi bir parça Türkçe yoksunu gösterse de örneğin sınav saati yaklaştıkça artan kaygınızın son dakikada  “expansiyonel” hızda arttığını söylebilirsiniz.

4.senaryomuzda “logaritmik artış” üzerine çamları devireceğiz.