A ltın ve gümüş sikkelerin birlikte kullanıldığı zamanlarda insanlar altın olanı saklamış, gümüş olanı harcamış. Neden? Çünkü insanların değerli olanı elde tutması, değersiz olanı ise elden çıkarması oldukça rasyonel bir davranış. İşte rasyonel olan bu davranışı, 16.yy’da İ ngiltere'de Kraliçe I. Elizabeth'in mali danışmanı olan Sir Thomas Gresham, “kötü para, iyi parayı kovar” ifadesiyle ekonomik bir yasaya dönüştürmüştür. Gresham yasası, yazılı (nominal) değerleri a ynı fakat külçe değerleri farklı iki paradan, külçe değeri yüksek olan paranın piyasadan (dolaşımdan) çekilmesidir. Nominal değer ve külçe değeri ne demektir? Örneğin bir madeni paranın üzerinde “5 TL” yazıyorsa bu onun nominal değeridir. Külçe değeri ise paranın yapıldığı metalin (altın, gümüş, bakır, nikel vs.) piyasa değeridir. Yani parayı eritip sadece metal olarak sattığınızda elde edeceğiniz değerdir. Örneğin elinizde iki adet 5 TL’lik madeni para var. Biri gümüşten, diğeri nikelden yapılmış olsun. İki...
Buraya yazdıklarım sınavlarda çıkar mı
çıkmaz mı hiç umurumda değil doğrusu. “Hocaaam bunlar bizim ne işimize
yarayacak” sorusu da içinde bir düşünceyi barındıran bir soru değildir. “Neyi bildiğini
bilmek ve niye yaptığını bilmek” gerek. İlk
senaryomuzda değişmezlik, durağanlık ve hareketsizlik kavramlarına odaklanmıştım.
Şimdi harekete, devinmeye, değişmeye başlayalım.
Senaryo
2: Sabit hızda hareket: Değişim
İlk 10 günde gözlenen hasta sayısı, tablodaki
gibi olsun. Her bir günde hasta sayısında bir değişim var mı? Var. Apaçık
ortada.
Peki bu değişimin yönü nasıl? Artmış mı azalmış mı? Zamana göre hasta sayısındaki değişim, artma yönünde. Acaba zamana göre bu değişimin (artışın) hızı kaç? Her bir gün 10 yeni hasta olacak şekilde hasta sayısı artığına göre artış oranının günlük 1 olduğunu çekinmeden söyleyebiliriz. Her bir gündeki artışın (10 hastanın) bir diğer gündeki artışa (10 hastaya) oranı, 10/10 = 1’dir. Bir başka deyişle ilk 10 günde hastalar, aynı oranda (1) artmaktadır. [Fakat günlük hasta sayısı değişken olduğu için toplam hasta sayısındaki değişim oranı farklıdır. ]
Matematiğin diliyle bu olayı Y =10*J
denklemi ile ifade edebiliriz. Bu denklemden şunu anlarız. J sembolü ilgilenilen günün
sırasıdır. Y, ilgilenilen gündeki hasta sayısının kaç olduğuna işaret eder.
İlgilenilen J. gündeki hasta sayısı, 10 sabiti ile çarpıldığında elde edilen sonuç,
o günkü hasta sayısını vermektedir. Örneğin 5.gündeki hasta sayısı, Y=10*5=50’dir.
7.gündeki hasta sayısı 7*10=70 dir. İlk 10 güne göre hasta sayısındaki değişimi
gözlemlemek için bir grafik çizelim. Grafikte yatay eksen ilgilenilen günün
sırasını, dikey eksen hasta sayısını göstermekte olsun. İlk 10 günde hasta sayısındaki
değişim, doğrusal bir yönde yukarıya doğru bir hareket çizgisini ortaya çıkarır.
Gözleneceği gibi hasta sayısındaki
artış hızı (katsayısı) sabittir. [Her hangi bir noktadaki eğim, 10’dur. Yaşasın
Türev!]
Hasta sayısındaki artışı 11. günde
durduralım. Bulunduğunuz yerde kalmaya devam etmek istiyorsanız hiçbir şey
yapmamanız gerekir. Durağan olmak istiyorsanız hareketsiz kalmanız yeterlidir.
Yeni bir durum yaratalım şimdi, içinde durağanlık olsun.
Tabloya göre hasta sayısı 11,12 ve 13.günlerde durağan/değişmez kalmıştır. Durağan kalınan hasta sayısı ise 100’dür. Senaryo 1’den hatırlarsanız durağanlık, iki ölçüm arasındaki farkın sıfıra veya iki ölçümün birbirine oranının b1re eşit olmasından anlaşılmakta idi. 11,12 ve 13.günlerde hasta sayıları arasındaki farklar da sıfırdır. Devam eden 14.,15., 16, 17. ve 18.günlerde sabit hızda bir hareket/değişim gözlenmekte, değil mi? Fakat bu hareketin/değişimin yönü ilk 10 günden farklıdır. Hareketin yönü ters yöndedir. Bir başka deyişle, hasta sayısındaki değişimin yönü, azalmadır. Azalışın hızı 10 ve sabit olup azalmanın yönü negatiftir. Matematiğin diliyle 14 ile 18.günler arasındaki hasta sayılarındaki değişimin denklemini Y = -10*J+230 olacaktır. Denklemdeki -10 çarpanı, hasta sayısındaki değişimin negatif yönde ve 10 çokluğunda sabit olduğunu ifade etmektedir. Denkleme göre 13 ile 18.günler arasındaki hasta sayılarını hesaplayalım: 13.gündeki hasta sayısı, -10*13+230 işlemiyle 100;
14.gündeki hasta sayısı, -10*14+230
işlemiyle 90;
15.gündeki hasta sayısı, -10*15+230
işlemiyle 80;
16.gündeki hasta sayısı, -10*16+230
işlemiyle 70;
17.gündeki hasta sayısı, -10*17+230
işlemiyle 60 ve
18.gündeki hasta sayısı, -10*18+230
işlemiyle 50 hasta sayısı elde edilecektir.
19 ve 20.günlerde hasta sayısı,
hareketsizdir veya durağandır. Durağanlıktaki çokluk, 50 hastadır.
İlk 20 günlük hasta sayısındaki değişimi,
dört parçalı olarak açıklayabiliriz. Grafikte bu durumu çok belirgin bir
biçimde görebilirsiniz.
1.günden 10.güne kadar sabit hızda
artan pozitif yönlü doğrusal bir hareket gözlerken 14 ve 18.günler arasında
sabit hızda azalan negatif yönlü doğrusal bir hareket gözlemekteyiz. Hasta sayılarında
durağanlığın gözlendiği zamanlar ise 11, 12 ve 13.günler ile 19. ve 20.günlerdir.
Dikkat ederseniz iki farklı dilimde durağanlık var ve bu durağanlığa hâsıl olan
hasta sayıları eşit değildir. İlk durağanlık 100 hastada vuku bulurken ikinci
durağanlık 50 hastada vuku bulmuştur. Bu da bize şunu anlatır; her durağanlık döneminin niteliği ve niceliği aynı değildir.
Bu senaryoda değişimin bir yönünün
olduğunu (negatif ya da pozitif) ve bu yönün de doğrusal olduğunu gördük. Farklı
zamanlarda ölçümler arasında bir durağanlığın vuku bulabileceğini unutmamak gerek.
Dünya üzerindeki olayların değişim
hızı, hep sabit midir? Katlanarak artan/azalan hızlarda değişimler yok mudur? Üstel
hızda değişim pek yakında…